Лема Гаусса — результат у теорії чисел, який визначає, чи є деяке число квадратним лишком іншого числа. Умови леми важко перевірити на практиці, тож її значення для обчислень є невеликим, проте вона має значний теоретичний інтерес.
Нехай маємо деяке просте число p і натуральне x, що не ділиться на p.Позначимо
Тоді
![{\displaystyle \left({\frac {x}{p}}\right)=(-1)^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6429ac1606b839c078335af40199dda8cba46172)
де
— символ Лежандра, а n — число пар (j, u) таких, що
і
і виконується
Для кожного
існує єдине
, таке, що виконується
де
Тоді
.
Якщо j і k є двома різними числами від 1 до m тоді
і
. Як наслідок враховуючи, що p не ділить x маємо:
і
.
Тобто різним значенням
відповідають різні значення
. Але тоді
Перемножуючи дві сторони рівностей
для
одержимо
і, враховуючи взаємну простоту p і m!, як наслідок
.
Згідно з властивостями символу Лежандра
Звідси одержуємо
і нарешті
.