Профіль Фойгта — розподіл ймовірностей , заданий згорткою лоренціана (розподілу Коші-Лоренца ) та гауссіана (нормального розподілу ). Його часто використовують для аналізу форму спектрільних ліній. Названий на честь Вольдемара Фойгта .
Без втрати загальності ми можемо розглядати лише центровані профілі, які мають пік в нулі. Тоді профіль Фойгта дається формулою
V
(
x
;
σ
,
γ
)
≡
∫
−
∞
∞
G
(
x
′
;
σ
)
L
(
x
−
x
′
;
γ
)
d
x
′
,
{\displaystyle V(x;\sigma ,\gamma )\equiv \int _{-\infty }^{\infty }G(x';\sigma )L(x-x';\gamma )\,dx',}
де x — відстань від центру лінії,
G
(
x
;
σ
)
{\displaystyle G(x;\sigma )}
— гауссіан (нормальний розподіл )
G
(
x
;
σ
)
≡
e
−
x
2
/
(
2
σ
2
)
σ
2
π
,
{\displaystyle G(x;\sigma )\equiv {\frac {e^{-x^{2}/(2\sigma ^{2})}}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}},}
і
L
(
x
;
γ
)
{\displaystyle L(x;\gamma )}
— лоренциан (розподіл Коші-Лоренца )
L
(
x
;
γ
)
≡
γ
π
(
x
2
+
γ
2
)
.
{\displaystyle L(x;\gamma )\equiv {\frac {\gamma }{\pi (x^{2}+\gamma ^{2})}}.}
Інтеграл у визначенні профіля Фойгта можна також виразити як
V
(
x
;
σ
,
γ
)
=
Re
[
w
(
z
)
]
σ
2
π
,
{\displaystyle V(x;\sigma ,\gamma )={\frac {\operatorname {Re} [w(z)]}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}},}
де Re[w (z )] — дійсна частина функції Фаддєєвої, обчислена для
z
=
x
+
i
γ
σ
2
.
{\displaystyle z={\frac {x+i\gamma }{\sigma {\sqrt {2}}}}.}
У граничних випадках
σ
=
0
{\displaystyle \sigma =0}
і
γ
=
0
{\displaystyle \gamma =0}
профіль Фойгта
V
(
x
;
σ
,
γ
)
{\displaystyle V(x;\sigma ,\gamma )}
спрощується до
L
(
x
;
γ
)
{\displaystyle L(x;\gamma )}
і
G
(
x
;
σ
)
{\displaystyle G(x;\sigma )}
відповідно.
У спектроскопії профіль Фойгта є результатом згортки двох механізмів розширення, один з яких створює гаусівський профіль (зазвичай, у результаті доплерівського розширення ), а інший створює лоренцівський профіль. Профілі Фойгта поширені в багатьох галузях спектроскопії та дифракції . Через витрати на обчислення функції Фаддєєвої профіль Фойгта іноді апроксимується за допомогою псевдофойгтівського профілю.
Профіль Фойгта нормалізований,
∫
−
∞
∞
V
(
x
;
σ
,
γ
)
d
x
=
1
,
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }V(x;\sigma ,\gamma )\,dx=1,}
оскільки він є згорткою двох нормалізованих профілів. Профіль Лоренца не має моментів (крім нульового), і твірна функція моментів для розподілу Коші невизначена, тому профіль Фойгта також не має твірної функції моментів. З іншого боку, характеристична функція визначена і для розподілу Коші , і для нормального розподілу . Тоді характеристична функція для центрованого профілю Фойгта буде добутком двох характеристичних функцій:
φ
f
(
t
;
σ
,
γ
)
=
E
(
e
i
x
t
)
=
e
−
σ
2
t
2
/
2
−
γ
|
t
|
.
{\displaystyle \varphi _{f}(t;\sigma ,\gamma )=E(e^{ixt})=e^{-\sigma ^{2}t^{2}/2-\gamma |t|}.}
Оскільки нормальний розподіл та розподіл Коші є стійкими розподілами , кожен з них є замкнутим відносно згортки (з точності до зміни масштабу), і з цього випливає, що розподіли Фойгта також замкнутий відносно згортки.
Використовуючи наведене вище визначення для z , кумулятивну функцію розподілу можна знайти таким чином:
F
(
x
0
;
μ
,
σ
)
=
∫
−
∞
x
0
Re
(
w
(
z
)
)
σ
2
π
d
x
=
Re
(
1
π
∫
z
(
−
∞
)
z
(
x
0
)
w
(
z
)
d
z
)
.
{\displaystyle F(x_{0};\mu ,\sigma )=\int _{-\infty }^{x_{0}}{\frac {\operatorname {Re} (w(z))}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\,dx=\operatorname {Re} \left({\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{z(-\infty )}^{z(x_{0})}w(z)\,dz\right).}
Підставляючи визначення функції Фаддєєвої (масштабованої комплексної функції похибок ), отримуємо для невизначеного інтеграла:
1
π
∫
w
(
z
)
d
z
=
1
π
∫
e
−
z
2
[
1
−
erf
(
−
i
z
)
]
d
z
,
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int w(z)\,dz={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int e^{-z^{2}}\left[1-\operatorname {erf} (-iz)\right]\,dz,}
що може бути пораховано як
1
π
∫
w
(
z
)
d
z
=
erf
(
z
)
2
+
i
z
2
π
2
F
2
(
1
,
1
;
3
2
,
2
;
−
z
2
)
,
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int w(z)\,dz={\frac {\operatorname {erf} (z)}{2}}+{\frac {iz^{2}}{\pi }}\,_{2}F_{2}\left(1,1;{\frac {3}{2}},2;-z^{2}\right),}
де
2
F
2
{\displaystyle {}_{2}F_{2}}
є гіпергеометричною функцією . Для того, щоб функція наближалася до нуля, коли x наближається до мінус нескінченності, необхідно додати константу інтегрування 1/2. Це дає для кумулятивної функції розподілу Фойгта
F
(
x
;
μ
,
σ
)
=
Re
[
1
2
+
erf
(
z
)
2
+
i
z
2
π
2
F
2
(
1
,
1
;
3
2
,
2
;
−
z
2
)
]
.
{\displaystyle F(x;\mu ,\sigma )=\operatorname {Re} \left[{\frac {1}{2}}+{\frac {\operatorname {erf} (z)}{2}}+{\frac {iz^{2}}{\pi }}\,_{2}F_{2}\left(1,1;{\frac {3}{2}},2;-z^{2}\right)\right].}
Якщо гаусіан центрований в
μ
G
{\displaystyle \mu _{G}}
, а лоренціан — на
μ
L
{\displaystyle \mu _{L}}
, то центр згортки знаходиться в
μ
V
=
μ
G
+
μ
L
{\displaystyle \mu _{V}=\mu _{G}+\mu _{L}}
, а характеристична функція має вигляд:
φ
f
(
t
;
σ
,
γ
,
μ
G
,
μ
L
)
=
e
i
(
μ
G
+
μ
L
)
t
−
σ
2
t
2
/
2
−
γ
|
t
|
.
{\displaystyle \varphi _{f}(t;\sigma ,\gamma ,\mu _{\mathrm {G} },\mu _{\mathrm {L} })=e^{i(\mu _{\mathrm {G} }+\mu _{\mathrm {L} })t-\sigma ^{2}t^{2}/2-\gamma |t|}.}
Функція густини ймовірності просто зсувається від центрованого профілю на
μ
V
{\displaystyle \mu _{V}}
:
V
(
x
;
μ
V
,
σ
,
γ
)
=
Re
[
w
(
z
)
]
σ
2
π
,
{\displaystyle V(x;\mu _{V},\sigma ,\gamma )={\frac {\operatorname {Re} [w(z)]}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}},}
де
z
=
x
−
μ
V
+
i
γ
σ
2
{\displaystyle z={\frac {x-\mu _{V}+i\gamma }{\sigma {\sqrt {2}}}}}
.
Мода та медіана розташовані в точці
μ
V
{\displaystyle \mu _{V}}
.
Профіль Фойгта (припускаючи
μ
V
=
10
{\displaystyle \mu _{V}=10}
,
σ
=
1.3
{\displaystyle \sigma =1.3}
, і
γ
=
2.5
{\displaystyle \gamma =2.5}
) і його перші дві частинні похідні за
x
{\displaystyle x}
(перший стовпчик) і три параметри
μ
V
{\displaystyle \mu _{V}}
,
σ
{\displaystyle \sigma }
, і
γ
{\displaystyle \gamma }
(другий, третій та четвертий стовпчики відповідно), отримані аналітично та чисельно.
Використовуючи наведене вище визначення для
z
{\displaystyle z}
і
x
c
=
x
−
μ
V
{\displaystyle x_{c}=x-\mu _{V}}
, першу та другу похідні від розподілу можна виразити через функцію Фаддєєвої :
∂
∂
x
V
(
x
c
;
σ
,
γ
)
=
−
Re
[
z
w
(
z
)
]
σ
2
π
=
−
x
c
σ
2
Re
[
w
(
z
)
]
σ
2
π
+
γ
σ
2
Im
[
w
(
z
)
]
σ
2
π
=
1
σ
3
2
π
⋅
(
γ
⋅
Im
[
w
(
z
)
]
−
x
c
⋅
Re
[
w
(
z
)
]
)
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial x}}V(x_{c};\sigma ,\gamma )&=-{\frac {\operatorname {Re} \left[z~w(z)\right]}{\sigma ^{2}{\sqrt {\pi }}}}=-{\frac {x_{c}}{\sigma ^{2}}}{\frac {\operatorname {Re} \left[w(z)\right]}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}+{\frac {\gamma }{\sigma ^{2}}}{\frac {\operatorname {Im} \left[w(z)\right]}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\\&={\frac {1}{\sigma ^{3}{\sqrt {2\pi }}}}\cdot \left(\gamma \cdot \operatorname {Im} \left[w(z)\right]-x_{c}\cdot \operatorname {Re} \left[w(z)\right]\right)\end{aligned}}}
і
∂
2
(
∂
x
)
2
V
(
x
c
;
σ
,
γ
)
=
x
c
2
−
γ
2
−
σ
2
σ
4
Re
[
w
(
z
)
]
σ
2
π
−
2
x
c
γ
σ
4
Im
[
w
(
z
)
]
σ
2
π
+
γ
σ
4
1
π
=
−
1
σ
5
2
π
⋅
(
γ
⋅
(
2
x
c
⋅
Im
[
w
(
z
)
]
−
σ
⋅
2
π
)
+
(
γ
2
+
σ
2
−
x
c
2
)
⋅
Re
[
w
(
z
)
]
)
,
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}}{\left(\partial x\right)^{2}}}V(x_{c};\sigma ,\gamma )&={\frac {x_{c}^{2}-\gamma ^{2}-\sigma ^{2}}{\sigma ^{4}}}{\frac {\operatorname {Re} \left[w(z)\right]}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}-{\frac {2x_{c}\gamma }{\sigma ^{4}}}{\frac {\operatorname {Im} \left[w(z)\right]}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}+{\frac {\gamma }{\sigma ^{4}}}{\frac {1}{\pi }}\\&=-{\frac {1}{\sigma ^{5}{\sqrt {2\pi }}}}\cdot \left(\gamma \cdot \left(2x_{c}\cdot \operatorname {Im} \left[w(z)\right]-\sigma \cdot {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\right)+\left(\gamma ^{2}+\sigma ^{2}-x_{c}^{2}\right)\cdot \operatorname {Re} \left[w(z)\right]\right),\end{aligned}}}
відповідно.
Часто один або декілька профілів Фойгта або їхні відповідні похідні потрібно підігнати до виміряного сигналу за допомогою нелінійного методу найменших квадратів . Тоді для прискорення обчислень можна використовувати додаткові частинні похідні. Замість апроксимації матриці Якобі за параметрами
μ
V
{\displaystyle \mu _{V}}
,
σ
{\displaystyle \sigma }
, і
γ
{\displaystyle \gamma }
за допомогою скінченних різниць можна застосувати відповідні аналітичні вирази. З позначеннями
Re
[
w
(
z
)
]
=
ℜ
w
{\displaystyle \operatorname {Re} \left[w(z)\right]=\Re _{w}}
і
Im
[
w
(
z
)
]
=
ℑ
w
{\displaystyle \operatorname {Im} \left[w(z)\right]=\Im _{w}}
, такі аналітичні вирази для профілю Фойгта
V
{\displaystyle V}
мають вигляд:
∂
V
∂
μ
V
=
−
∂
V
∂
x
=
1
σ
3
2
π
⋅
(
x
c
⋅
ℜ
w
−
γ
⋅
ℑ
w
)
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial V}{\partial \mu _{V}}}=-{\frac {\partial V}{\partial x}}={\frac {1}{\sigma ^{3}{\sqrt {2\pi }}}}\cdot \left(x_{c}\cdot \Re _{w}-\gamma \cdot \Im _{w}\right)\end{aligned}}}
∂
V
∂
σ
=
1
σ
4
2
π
⋅
(
(
x
c
2
−
γ
2
−
σ
2
)
⋅
ℜ
w
−
2
x
c
γ
⋅
ℑ
w
+
γ
σ
⋅
2
π
)
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial V}{\partial \sigma }}={\frac {1}{\sigma ^{4}{\sqrt {2\pi }}}}\cdot \left(\left(x_{c}^{2}-\gamma ^{2}-\sigma ^{2}\right)\cdot \Re _{w}-2x_{c}\gamma \cdot \Im _{w}+\gamma \sigma \cdot {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\right)\end{aligned}}}
∂
V
∂
γ
=
−
1
σ
3
2
π
⋅
(
σ
⋅
2
π
−
x
c
⋅
ℑ
w
−
γ
⋅
ℜ
w
)
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial V}{\partial \gamma }}=-{\frac {1}{\sigma ^{3}{\sqrt {2\pi }}}}\cdot \left(\sigma \cdot {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}-x_{c}\cdot \Im _{w}-\gamma \cdot \Re _{w}\right)\end{aligned}}}
Для частинної похідної першого порядку
V
′
=
∂
V
∂
x
{\displaystyle V'={\frac {\partial V}{\partial x}}}
похідні мають вигляд:
∂
V
′
∂
μ
V
=
−
∂
V
′
∂
x
=
−
∂
2
V
(
∂
x
)
2
=
1
σ
5
2
π
⋅
(
γ
⋅
(
2
x
c
⋅
ℑ
w
−
σ
⋅
2
π
)
+
(
γ
2
+
σ
2
−
x
c
2
)
⋅
ℜ
w
)
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial V'}{\partial \mu _{V}}}=-{\frac {\partial V'}{\partial x}}=-{\frac {\partial ^{2}V}{\left(\partial x\right)^{2}}}={\frac {1}{\sigma ^{5}{\sqrt {2\pi }}}}\cdot \left(\gamma \cdot \left(2x_{c}\cdot \Im _{w}-\sigma \cdot {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\right)+\left(\gamma ^{2}+\sigma ^{2}-x_{c}^{2}\right)\cdot \Re _{w}\right)\end{aligned}}}
∂
V
′
∂
σ
=
3
σ
6
2
π
⋅
(
−
γ
σ
x
c
⋅
2
2
3
π
+
(
x
c
2
−
γ
2
3
−
σ
2
)
⋅
γ
⋅
ℑ
w
+
(
γ
2
+
σ
2
−
x
c
2
3
)
⋅
x
c
⋅
ℜ
w
)
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial V'}{\partial \sigma }}={\frac {3}{\sigma ^{6}{\sqrt {2\pi }}}}\cdot \left(-\gamma \sigma x_{c}\cdot {\frac {2{\sqrt {2}}}{3{\sqrt {\pi }}}}+\left(x_{c}^{2}-{\frac {\gamma ^{2}}{3}}-\sigma ^{2}\right)\cdot \gamma \cdot \Im _{w}+\left(\gamma ^{2}+\sigma ^{2}-{\frac {x_{c}^{2}}{3}}\right)\cdot x_{c}\cdot \Re _{w}\right)\end{aligned}}}
∂
V
′
∂
γ
=
1
σ
5
2
π
⋅
(
x
c
⋅
(
σ
⋅
2
π
−
2
γ
⋅
ℜ
w
)
+
(
γ
2
+
σ
2
−
x
c
2
)
⋅
ℑ
w
)
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial V'}{\partial \gamma }}={\frac {1}{\sigma ^{5}{\sqrt {2\pi }}}}\cdot \left(x_{c}\cdot \left(\sigma \cdot {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}-2\gamma \cdot \Re _{w}\right)+\left(\gamma ^{2}+\sigma ^{2}-x_{c}^{2}\right)\cdot \Im _{w}\right)\end{aligned}}}
Для частинної похідної другого порядку
V
″
=
∂
2
V
(
∂
x
)
2
{\displaystyle V''={\frac {\partial ^{2}V}{\left(\partial x\right)^{2}}}}
похідні мають вигляд:
∂
V
″
∂
μ
V
=
−
∂
V
″
∂
x
=
−
∂
3
V
(
∂
x
)
3
=
−
3
σ
7
2
π
⋅
(
(
x
c
2
−
γ
2
3
−
σ
2
)
⋅
γ
⋅
ℑ
w
+
(
γ
2
+
σ
2
−
x
c
2
3
)
⋅
x
c
⋅
ℜ
w
−
γ
σ
x
c
⋅
2
2
3
π
)
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial V''}{\partial \mu _{V}}}=-{\frac {\partial V''}{\partial x}}=-{\frac {\partial ^{3}V}{\left(\partial x\right)^{3}}}=-{\frac {3}{\sigma ^{7}{\sqrt {2\pi }}}}\cdot \left(\left(x_{c}^{2}-{\frac {\gamma ^{2}}{3}}-\sigma ^{2}\right)\cdot \gamma \cdot \Im _{w}+\left(\gamma ^{2}+\sigma ^{2}-{\frac {x_{c}^{2}}{3}}\right)\cdot x_{c}\cdot \Re _{w}-\gamma \sigma x_{c}\cdot {\frac {2{\sqrt {2}}}{3{\sqrt {\pi }}}}\right)\end{aligned}}}
∂
V
″
∂
σ
=
−
1
σ
8
2
π
⋅
(
(
−
3
γ
x
c
σ
2
+
γ
x
c
3
−
γ
3
x
c
)
⋅
4
⋅
ℑ
w
+
(
(
2
x
c
2
−
2
γ
2
−
σ
2
)
⋅
3
σ
2
+
6
γ
2
x
c
2
−
x
c
4
−
γ
4
)
⋅
ℜ
w
+
(
γ
2
+
5
σ
2
−
3
x
c
2
)
⋅
γ
σ
⋅
2
π
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial V''}{\partial \sigma }}=-{\frac {1}{\sigma ^{8}{\sqrt {2\pi }}}}\cdot \\&\left(\left(-3\gamma x_{c}\sigma ^{2}+\gamma x_{c}^{3}-\gamma ^{3}x_{c}\right)\cdot 4\cdot \Im _{w}+\left(\left(2x_{c}^{2}-2\gamma ^{2}-\sigma ^{2}\right)\cdot 3\sigma ^{2}+6\gamma ^{2}x_{c}^{2}-x_{c}^{4}-\gamma ^{4}\right)\cdot \Re _{w}+\left(\gamma ^{2}+5\sigma ^{2}-3x_{c}^{2}\right)\cdot \gamma \sigma \cdot {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\right)\end{aligned}}}
∂
V
″
∂
γ
=
−
3
σ
7
2
π
⋅
(
(
γ
2
+
σ
2
−
x
c
2
3
)
⋅
x
c
⋅
ℑ
w
+
(
γ
2
3
+
σ
2
−
x
c
2
)
⋅
γ
⋅
ℜ
w
+
(
x
c
2
−
γ
2
−
2
σ
2
)
⋅
σ
⋅
2
3
π
)
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial V''}{\partial \gamma }}=-{\frac {3}{\sigma ^{7}{\sqrt {2\pi }}}}\cdot \left(\left(\gamma ^{2}+\sigma ^{2}-{\frac {x_{c}^{2}}{3}}\right)\cdot x_{c}\cdot \Im _{w}+\left({\frac {\gamma ^{2}}{3}}+\sigma ^{2}-x_{c}^{2}\right)\cdot \gamma \cdot \Re _{w}+\left(x_{c}^{2}-\gamma ^{2}-2\sigma ^{2}\right)\cdot \sigma \cdot {\frac {\sqrt {2}}{3{\sqrt {\pi }}}}\right)\end{aligned}}}
Оскільки
μ
V
{\displaystyle \mu _{V}}
і
γ
{\displaystyle \gamma }
відіграють відносно подібну роль у розрахунку
z
{\displaystyle z}
, їх відповідні часткові похідні також виглядають досить схожими з точки зору їх структури, хоча вони призводять до абсолютно різних профілів похідних. Частинні похідні за
σ
{\displaystyle \sigma }
і
γ
{\displaystyle \gamma }
демонструють подібність, оскільки обидва є параметрами ширини. Усі ці похідні включають лише прості операції (множення та додавання), оскільки обчислювально важкі
ℜ
w
{\displaystyle \Re _{w}}
і
ℑ
w
{\displaystyle \Im _{w}}
легко отримати під час обчислень
w
(
z
)
{\displaystyle w\left(z\right)}
. Таке повторне використання попередніх обчислень дає змогу робити розрахунки з мінімальними витратами.
Функції Фойгта U , V і H (іноді їх називають функцією розширення ліній) визначаються як
U
(
x
,
t
)
+
i
V
(
x
,
t
)
=
π
4
t
e
z
2
erfc
(
z
)
=
π
4
t
w
(
i
z
)
,
{\displaystyle U(x,t)+iV(x,t)={\sqrt {\frac {\pi }{4t}}}e^{z^{2}}\operatorname {erfc} (z)={\sqrt {\frac {\pi }{4t}}}w(iz),}
H
(
a
,
u
)
=
U
(
u
/
a
,
1
/
4
a
2
)
a
π
,
{\displaystyle H(a,u)={\frac {U(u/a,1/4a^{2})}{a{\sqrt {\pi }}}},}
де
z
=
(
1
−
i
x
)
/
2
t
,
{\displaystyle z=(1-ix)/2{\sqrt {t}},}
erfc — додаткова функція помилок , а w (z ) — функція Фаддєєвої .
Функцію розширення лінії можна зв'язати з профілем Фойгта, використовуючи вираз
V
(
x
;
σ
,
γ
)
=
H
(
a
,
u
)
/
(
2
π
σ
)
,
{\displaystyle V(x;\sigma ,\gamma )=H(a,u)/({\sqrt {2}}{\sqrt {\pi }}\sigma ),}
де
a
=
γ
/
(
2
σ
)
{\displaystyle a=\gamma /({\sqrt {2}}\sigma )}
і
u
=
x
/
(
2
σ
)
.
{\displaystyle u=x/({\sqrt {2}}\sigma ).}
Функція Теппера-Гарсіа, названа на честь німецько-мексиканського астрофізика Тора Теппера-Гарсіа , є комбінацією експоненціальної функції та раціональних функцій, яка наближає функцію розширення лінії.
H
(
a
,
u
)
{\displaystyle H(a,u)}
в широкому діапазоні його параметрів[1] . Його отримують із розкладання в усічений степеневий ряд точної функції розширення лінії.
У своїй найбільш ефективній з точки зору обчислень формі функція Теппера-Гарсіа може бути виражена як
T
(
a
,
u
)
=
R
−
(
a
/
π
P
)
[
R
2
(
4
P
2
+
7
P
+
4
+
Q
)
−
Q
−
1
]
,
{\displaystyle T(a,u)=R-\left(a/{\sqrt {\pi }}P\right)~\left[R^{2}~(4P^{2}+7P+4+Q)-Q-1\right]\,,}
де
P
≡
u
2
{\displaystyle P\equiv u^{2}}
,
Q
≡
3
/
(
2
P
)
{\displaystyle Q\equiv 3/(2P)}
, і
R
≡
e
−
P
{\displaystyle R\equiv e^{-P}}
.
Таким чином, функцію розширення лінії можна розглядати, у першому порядку, як чисту функцію Гауса плюс поправочний коефіцієнт, який лінійно залежить від мікроскопічних властивостей поглинаючого середовища (закодований у
a
{\displaystyle a}
). Однак внаслідок раннього обрізання в розкладі ряду похибка апроксимації все ще має порядок
a
{\displaystyle a}
, тобто
H
(
a
,
u
)
≈
T
(
a
,
u
)
+
O
(
a
)
{\displaystyle H(a,u)\approx T(a,u)+{\mathcal {O}}(a)}
. Це наближення має відносну точність
ϵ
≡
|
H
(
a
,
u
)
−
T
(
a
,
u
)
|
H
(
a
,
u
)
≲
10
−
4
{\displaystyle \epsilon \equiv {\frac {\vert H(a,u)-T(a,u)\vert }{H(a,u)}}\lesssim 10^{-4}}
у всьому діапазоні довжин хвиль
H
(
a
,
u
)
{\displaystyle H(a,u)}
, за умови, що
a
≲
10
−
4
{\displaystyle a\lesssim 10^{-4}}
. Окрім високої точності, функція
T
(
a
,
u
)
{\displaystyle T(a,u)}
легка для реалізації і швидка в обчисленні. Вона широко використовується для аналізу ліній поглинання квазарів[2] .
Псевдофойгтівський профіль (або псевдофойгтівська функція) є апроксимацією профілю Фойгта V (x ) з використанням лінійної комбінації кривої Гауса G (x ) і кривої Лоренца L (x ) замість їхньої згортки .
Псевдофойгтівська функція часто використовується для розрахунків експериментальних форм спектральних ліній .
Математичне визначення нормалізованого псевдофойгтівського профілю дається формулою
V
p
(
x
,
f
)
=
η
⋅
L
(
x
,
f
)
+
(
1
−
η
)
⋅
G
(
x
,
f
)
{\displaystyle V_{p}(x,f)=\eta \cdot L(x,f)+(1-\eta )\cdot G(x,f)}
, де
0
<
η
<
1
{\displaystyle 0<\eta <1}
.
η
{\displaystyle \eta }
є функцією параметра ширини на напіввисоті .
Є кілька можливих варіантів для параметра
η
{\displaystyle \eta }
[3] [4] [5] [6] . Проста формула з точністю до 1 % має вигляд[7] [8] :
η
=
1.36603
(
f
L
/
f
)
−
0.47719
(
f
L
/
f
)
2
+
0.11116
(
f
L
/
f
)
3
,
{\displaystyle \eta =1.36603(f_{L}/f)-0.47719(f_{L}/f)^{2}+0.11116(f_{L}/f)^{3},}
де тепер
η
{\displaystyle \eta }
є функцією ширин на напіввисоті для лоренціана (
f
L
{\displaystyle f_{L}}
), гаусіана (
f
G
{\displaystyle f_{G}}
) і результуючої функції Фойгта (
f
{\displaystyle f}
). Загальна ширина на напіввисоті
f
{\displaystyle f}
описується формулою
f
=
[
f
G
5
+
2.69269
f
G
4
f
L
+
2.42843
f
G
3
f
L
2
+
4.47163
f
G
2
f
L
3
+
0.07842
f
G
f
L
4
+
f
L
5
]
1
/
5
.
{\displaystyle f=[f_{G}^{5}+2.69269f_{G}^{4}f_{L}+2.42843f_{G}^{3}f_{L}^{2}+4.47163f_{G}^{2}f_{L}^{3}+0.07842f_{G}f_{L}^{4}+f_{L}^{5}]^{1/5}.}
Ширина на напіввисоті профілю Фойгта може бути знайдена з ширин гаусіана та лоренціана. Ширина на напіввисоті гаусіана дається формулою
f
G
=
2
σ
2
ln
(
2
)
.
{\displaystyle f_{\mathrm {G} }=2\sigma {\sqrt {2\ln(2)}}.}
Ширина на напіввисоті лоренціана становить
f
L
=
2
γ
.
{\displaystyle f_{\mathrm {L} }=2\gamma .}
Приблизне співвідношення (з точністю до 1,2 %) між ширинами профілів Фойгта, Гаусса та Лоренца дається формулою[9] :
f
V
≈
f
L
/
2
+
f
L
2
/
4
+
f
G
2
.
{\displaystyle f_{\mathrm {V} }\approx f_{\mathrm {L} }/2+{\sqrt {f_{\mathrm {L} }^{2}/4+f_{\mathrm {G} }^{2}}}.}
За побудовою цей вираз є точним для чистого гаусіана та для чистого лоренціана.
Краще наближення (вперше знайдене Кількопфом[10] ) має точність 0,02 % і дається формулою[11]
f
V
≈
0.5346
f
L
+
0.2166
f
L
2
+
f
G
2
.
{\displaystyle f_{\mathrm {V} }\approx 0.5346f_{\mathrm {L} }+{\sqrt {0.2166f_{\mathrm {L} }^{2}+f_{\mathrm {G} }^{2}}}.}
Знову ж таки, цей вираз є точним для чистого гаусіана або лоренціана. У тій же публікації Кількопфа можна знайти дещо точніший (в межах 0,012 %), але значно складніший вираз[11] .
↑
Tepper-García, Thorsten (2006). Voigt profile fitting to quasar absorption lines: an analytic approximation to the Voigt-Hjerting function. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society . 369 (4): 2025—2035. arXiv :astro-ph/0602124 . Bibcode :2006MNRAS.369.2025T . doi :10.1111/j.1365-2966.2006.10450.x .
↑ List of citations found in the SAO/NASA Astrophysics Data System (ADS): https://ui.adsabs.harvard.edu/abs/2006MNRAS.369.2025T/citations
↑ Wertheim GK, Butler MA, West KW, Buchanan DN (1974). Determination of the Gaussian and Lorentzian content of experimental line shapes. Review of Scientific Instruments . 45 (11): 1369—1371. Bibcode :1974RScI...45.1369W . doi :10.1063/1.1686503 .
↑ Sánchez-Bajo, F.; F. L. Cumbrera (August 1997). The Use of the Pseudo-Voigt Function in the Variance Method of X-ray Line-Broadening Analysis . Journal of Applied Crystallography . 30 (4): 427—430. doi :10.1107/S0021889896015464 .
↑ Liu Y, Lin J, Huang G, Guo Y, Duan C (2001). Simple empirical analytical approximation to the Voigt profile. JOSA B . 18 (5): 666—672. Bibcode :2001JOSAB..18..666L . doi :10.1364/josab.18.000666 .
↑ Di Rocco HO, Cruzado A (2012). The Voigt Profile as a Sum of a Gaussian and a Lorentzian Functions, when the Weight Coefficient Depends Only on the Widths Ratio . Acta Physica Polonica A . 122 (4): 666—669. Bibcode :2012AcPPA.122..666D . doi :10.12693/APhysPolA.122.666 . ISSN 0587-4246 .
↑ Ida T, Ando M, Toraya H (2000). Extended pseudo-Voigt function for approximating the Voigt profile . Journal of Applied Crystallography . 33 (6): 1311—1316. doi :10.1107/s0021889800010219 .
↑ P. Thompson, D. E. Cox and J. B. Hastings (1987). Rietveld refinement of Debye-Scherrer synchrotron X-ray data from Al2 O3 . Journal of Applied Crystallography . 20 (2): 79—83. doi :10.1107/S0021889887087090 .
↑ Whiting, E. E. (June 1968). An empirical approximation to the Voigt profile. Journal of Quantitative Spectroscopy and Radiative Transfer . 8 (6): 1379—1384. Bibcode :1968JQSRT...8.1379W . doi :10.1016/0022-4073(68)90081-2 . ISSN 0022-4073 .
↑ John F. Kielkopf (1973), New approximation to the Voigt function with applications to spectral-line profile analysis, Journal of the Optical Society of America , 63 (8): 987, Bibcode :1973JOSA...63..987K , doi :10.1364/JOSA.63.000987
↑ а б Olivero, J. J.; R. L. Longbothum (February 1977). Empirical fits to the Voigt line width: A brief review. Journal of Quantitative Spectroscopy and Radiative Transfer . 17 (2): 233—236. Bibcode :1977JQSRT..17..233O . doi :10.1016/0022-4073(77)90161-3 . ISSN 0022-4073 .
http://jugit.fz-juelich.de/mlz/libcerf , цифрова бібліотека C для складних функцій помилок, надає функцію Фойгта(x, sigma, gamma) із точністю приблизно 13–14 цифр.
Оригінальна стаття: Фойгта, Woldemar, 1912, '' Das Gesetz der Intensitätsverteilung innerhalb der Linien eines Gasspektrums '', Sitzungsbericht der Bayerischen Akademie der Wissenschaften, 25, 603 (див. також: http://publikationen.badw.de/de /003395768)