Скалярна кривина

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Скалярна кривина (або скаляр Річі) — найпростіший з можливих інваріантів кривизни Ріманових многовидів. Кожній точці многовиду вона ставить у відповідність одне дійсне число, яке визначається внутрішньою геометрією многовида в околиці цієї точки. Зокрема, скалярна кривина виражає значення об'єму на який відрізняються геодезичні кулі у викривленому рімановому многовиді і в евклідовому просторі. Отримується згорткою тензора Річчі з метричним тензором

Рівняння гравітаційного поля

[ред. | ред. код]

В загальної теорії відносності функціонал дії для гравітаційного поля виражається за допомогою інтеграла по чотиривимірному об'єму від скалярної кривизни:

Тому рівняння гравітаційного поля можуть бути отримані шляхом взяття похідної Ейлера-Лагранжа від скалярної густини кривизни [1].

Двовимірні поверхні

[ред. | ред. код]

Для двовимірних ріманових многовидів скалярна кривина збігається з гаусовою кривиною многовиду. Інтеграл по гаусовій кривині дорівнює ейлеровій характеристиці поверхні помноженій на  — це твердження становить суть теореми Гауса-Бонне.

Примітки

[ред. | ред. код]
  1. Наукова Мережа>> Теорія відносності для астрономів. Архів оригіналу за 21 жовтня 2016. Процитовано 1 листопада 2011.