Теорема Лебега про щільність

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Теорема Лебега про щільність — результат теорії міри, який інтуїтивно можна розуміти так, що множина «граничних точок» вимірної множини має міру нуль.

Твердження

[ред. | ред. код]

Позначимо через міру Лебега на евклідовому просторі . Нехай вимірна множина. Для довільної точки і розглянемо значення

,

де позначає кулю з центром в і радіусом . Величину можна інтерпретувати як приблизна щільність множини в точці .

тоді

існує і дорівнює 1 для майже кожної точки .

Зауваження

[ред. | ред. код]
  • Величина , якщо визначена, називається щільністю множини в точці .
  • Інакше кажучи, теорема стверджує, що щільність будь-якої вимірної множини приймає значення 0 або 1 майже всюди в .
  • Якщо множина і її доповнення мають додатну міру, то завжди знайдуться точки із щільністю не рівною 0 і 1.

Приклади

[ред. | ред. код]

Наприклад, дано квадрат в площині, щільність в кожній точці всередині квадрата дорівнює 1, на сторонах 1/2, в вершинах по 1/4, і 0 поза квадрата; сторони і вершини квадрата є множинами міри нуль.

Варіації і узагальнення

[ред. | ред. код]

Див. також

[ред. | ред. код]

Література

[ред. | ред. код]
  • Натансон І. П. Теорія функцій дійсної змінної. — Москва, 1974.
  • Cohn, Donald L. (1997) [1980], Measure theory (вид. reprint), Boston–Basel–Stuttgart: Birkhäuser Verlag, с. IX+373, ISBN 3-7643-3003-1